鏡像電荷

鏡像電荷(英文名:Image charge)是指研究導(dǎo)體(或半導(dǎo)體)感應(yīng)電荷電場(chǎng)分布時(shí)引入的等效電荷。等效電荷與源電荷的關(guān)系類似于圖像與物體的關(guān)系。19世紀(jì)中期，英國(guó)物理學(xué)家威廉·湯姆孫(Lord Kelvin)提出了固體導(dǎo)電理論，并將鏡像法和電力線的概念引入到靜電中，而鏡像法則引入了鏡像電荷的相關(guān)概念。

鏡像電荷法的有效性是基于唯一性定理的推論，該定理指出當(dāng)整個(gè)區(qū)域的電荷密度和所有邊界上的電勢(shì)值都已指定時(shí)，體積V中的電勢(shì)是唯一確定的。將這一推論應(yīng)用于高斯定律的微分形式表明，在一個(gè)被導(dǎo)體包圍并含有指定電荷密度ρ的體積V中，只要給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷，電場(chǎng)就是唯一確定的。如果已知電勢(shì)或電場(chǎng)，已知相應(yīng)的邊界條件，則所考慮的電荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要滿足研究區(qū)域的泊松方程，并在邊界處取正確值即可。鏡像法可以用來求解靜電場(chǎng)的邊值問題。它的基本原理是去掉邊界條件，把一些等效的鏡像電荷放在要求解的場(chǎng)之外，從而把有邊界的邊值問題轉(zhuǎn)化為無邊界的問題。

鏡像電荷法的有效性是基于唯一性定理的推論，該定理指出當(dāng)整個(gè)區(qū)域的電荷密度和所有邊界上的電勢(shì)值都已指定時(shí)，體積V中的電勢(shì)是唯一確定的。將這一推論應(yīng)用于高斯定律的微分形式表明，在一個(gè)被導(dǎo)體包圍并含有指定電荷密度ρ的體積V中，只要給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷，電場(chǎng)就是唯一確定的。

如果已知電勢(shì)或電場(chǎng)，已知相應(yīng)的邊界條件，則所考慮的電荷分布可以用更容易分析的形式代替，只要滿足研究區(qū)域的泊松方程，并在邊界處取正確值即可。鏡像電荷可以用來解決靜電場(chǎng)的邊值問題。其基本原理是去掉邊界，在不改變場(chǎng)內(nèi)電荷的情況下，將一些等效的鏡像電荷放在待求解場(chǎng)外的適當(dāng)位置，從而將有邊界的邊值問題的求解轉(zhuǎn)化為無邊界問題的求解。基于唯一性定理，待求解區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)邊界上的原電荷和感生表面電荷的電勢(shì)可以用原電荷和鏡像電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加來代替，即該方法得到的場(chǎng)解是唯一解。

選擇鏡像電荷應(yīng)注意的問題:鏡像電荷必須位于要求解的場(chǎng)的邊界之外；將有邊界的非均勻空間作為無限均勻空間處理，在這個(gè)均勻空間中的介質(zhì)特性與待求解領(lǐng)域中的介質(zhì)特性一致；鏡像電荷(或電流)與實(shí)際電荷(或電流)共同作用，保持原來的邊界條件不變。

點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像對(duì)稱分布；點(diǎn)電荷是半無限接地導(dǎo)體角域的鏡像，角邊界由兩個(gè)半無限接地導(dǎo)體平面構(gòu)成。當(dāng)包含角度時(shí)，角域中的點(diǎn)電荷將具有鏡像電荷。

唯一性定理

唯一性定理對(duì)于一系列分別具有電勢(shì)的導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，假設(shè)存在一個(gè)解是有效的，并且這個(gè)解一定是唯一的。假設(shè)有另一個(gè)函數(shù)也適用于同一邊值條件的解。現(xiàn)在拉普拉斯方程是線性的，即和滿足公式，所以要么這兩個(gè)解的任意線性組合滿足公式，公式中的和是常數(shù)。特別地，兩個(gè)解之間的差也必須滿足公式(1)，并且這個(gè)差被稱為:

當(dāng)然，邊界條件不滿足。事實(shí)上，每個(gè)導(dǎo)體的表面都是零，因?yàn)閟um在導(dǎo)體的表面上具有相同的值。所以，它是另一個(gè)靜電問題的解，也就是這種導(dǎo)體相同，所有導(dǎo)體電勢(shì)為零的系統(tǒng)的解。

高斯定理

高斯定理通過任意封閉曲面的電通量等于該曲面所包圍的所有電荷和電量除以它的代數(shù)和，不考慮封閉曲面外的電荷。對(duì)于一系列給定邊界條件的導(dǎo)體，鏡像電荷是計(jì)算其周圍電場(chǎng)的一種有用方法。在給定點(diǎn)電荷和無限大導(dǎo)體平面的情況下，鏡像電荷位于平面的另一側(cè)，離平面的距離等于離平面的距離。根據(jù)高斯定理，平面上的總電荷為0。